应用随机过程

发布日期:2018-05-19

应用随机过程

 

课程名称:CUR204 应用随机过程Applied Stochastic Processes

课程性质:金融工程学专业必修,其他专业选修或根据专业培养方案确定。

学分课时:3学分,48课时

主讲教师:吴卫星教授  邓军讲师

所属院系:对外经济贸易大学金融学院金融工程系,

电话:64492635,E-mail:WXWU@UIBE.EDU.CN

教学对象:全校二年级及以上本科生或具有同等学力的学生

考核方式:平时测验(或作业成绩),每1-2周一次,主要考察学习进度

期末考试,闭卷考试,笔试。

其中平时成绩占40%,期末考试占60%

学术诚信:本课程对于学生的学术诚信的要求遵从《对外经济贸易大学学生违纪处分条例》、《对外经济贸易大学学生学习违纪处分实施细则》、《对外经济贸易大学考场纪律》的规定。

教学方式:课堂讲授占比80%,讨论占比20%。教学中要求理论联系实际,采用导入式教学和讨论教学法。教师将会使用多媒体教学。

出勤要求:遵从《对外经济贸易大学本科生课堂学习规范》,要求学生关闭一切电子设备;不能无故缺席上课;上课专心听讲,积极参与课堂讨论;课后认真复习课堂上讲授内容,独立完成教师布置的任务;并预习新课。学生缺勤不得多于总课时的四分之一。教师可以根据考勤情况决定学生是否可以参加考试、是否扣分。

 

一、 课程简介

应用随机过程是一门为经济、管理、金融相关专业本科二年级及以上学生设计的三学分课程。该课程主要讲授随“时间”演变随机现象相关的数学理论和方法及其在自然科学、工程技术和经济金融领域的应用。本课程的教学内容主要包括概率论基础,以及具有很强金融背景的几类随机过程:马尔可夫链;Poisson 过程;正态过程;Brown运动;离散时间鞅以及随机分析初步等。

二、 教学目标

本课程的定位是:帮助学生掌握随机过程的基本理论和在金融中的应用、培养学生对金融实践进行量化分析并提供解决方案的能力,掌握利用随机手段分析金融问题的正确方法和基本理念,为进一步学习金融学后续专业课程打下坚实的基础。

因此,本课程的教学目标是,通过该门课程的学习,使学生掌握随机过程的基本理论与实际应用的方法,熟悉对工程技术、经济管理等各专业的实际课题建立随机模型的思路、理论、方法,并了解近年来随机过程方法在金融中的应用。

三、 课程学习资料

1.指定教材:张波张景肖应用随机过程[M]. 清华大学出版社有限公司, 2004.

参考教材:伍海华杨德平随机过程随机过程金融资产定价之应用[M]. 中国金融出版社, 2002.

2.参考资料:

钱敏平龚光鲁随机过程论[M]. 北京大学出版社, 1997.

胡迪鹤随机过程论基础理论应用[M]. 武汉大学出版社, 2000.

严加安测度论讲义[M]. 科学出版社, 1998.

Ross S M. Stochastic processes[M]. New York: John Wiley & Sons, 1996.

Gardiner C W. Handbook of stochastic methods[M]. Berlin: Springer, 1985.

四、学习效果及达成途径

1.学习效果

通过本课程的学习,希望达成的学习效果如下:

1.立足于基本理论的介绍;

2.力图帮助同学掌握随机分析的基本思想和基本方法;

3.尽量阐述清楚基本概念及相应的背景;

4.尝试将各类随机过程与金融问题结合(如Black-Sholes-Merton公式);

5.训练数学表述能力.

2.达成学习效果的途径

通过具体实例进行分析,探索确定性方法与随机方法的异同;课后阅读教师指定资料;按时完成期中作业;认真准备期末考试。

五、教学进度计划表

本课程教学周为16周,具体安排如下:

周次

课时

教学方式

内容提要

(包括讲授章、节、目,讨论题目,实验等内容)

备注

1

3

课堂讲授

第一章 第一节 随机过程的概率论基础(一)

 

2

3

课堂讲授

第一章 第二节 随机过程的概率论基础(二)

 

3

3

课堂讲授

第二章 第一节 随机过程的定义和分类

 

4

3

课堂讲授

第二章 第二节 随机过程的数字特征

 

5

3

课堂讲授

第二章 第三节 重要的随机过程简介(一)

 

6

3

课堂讲授

第二章 第三节 重要的随机过程简介(二)

实验

7

3

课堂讲授

第三章 第一节 马尔可夫链的定义和分类

 

8

3

课堂讲授

第三章 第二节 马尔可夫链的状态分类(一)

 

9

3

课堂讲授

第三章 第二节 马尔可夫链的状态分类(二)

 

10

3

课堂讲授

第三章 第三节 平稳分布和遍历性

 

11

3

课堂讲授

第三章 第四节 平稳分布和遍历性

 

12

3

课堂讲授

第三章 第五节 时间连续的马尔可夫链

实验

13

3

课堂讲授

第四章 第一节 鞅的定义

 

14

3

课堂讲授

第四章 第二节 鞅在金融中的应用

 

15

3

课堂讲授

第五章 第一节  Ito积分

 

16

3

课堂讲授

第六章 第二节 随机过程在金融中的应用

实验

 

六、 教学内容

随机过程的概率论基础

【教学目的和要求】

  1. 复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念,条件分布,函数的分布求法,常见的离散型与连续型分布,及多维随机变量的知识。

教学时数:2

  1. 复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算。
  2.  
  3. 掌握条件数学期望的求法,全期望公式的意义与应用。
  4.  
  5. 掌握随机变量的特征函数的定义、性质与求法。
  6.  
  7. 理解随机变量序列的各种收敛性。概率空间定义及其建模含义。
  8.  

【基础知识】

  1. 概率空间、随机变量和分布函数
    1. 概率空间定义及其建模含义
    2. 随机变量及其分布
  2. 数字特征,矩母函数与特征函数
  3. 条件概率、条件期望和独立性
  4. 收敛性*

 

教学总时数:6

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第一章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第一章。

作业与练习:

1.  什么是概率空间?在金融建模中如何选择合适的概率空间?

2.  什么是随机向量的维数?多维随机向量的概率空间如何定义?

3.  特征函数是什么?有何功能?

 

随机过程的基本概念和基本类型

【教学目的和要求】

  1. 掌握随机过程的背景、定义及分类。
  2.  
  3. 掌握随机过程的一维、二维分布函数、有限维分布函数、均值函数、方差函数与协方差函数等重要的数字特征,以及随机过程的特征函数的定义与应用。
  4.  
  5. 了解随机过程的按物理架构分类、按概率特性分类及几种常见随机过程,如二阶矩过程,正态随机过程,独立增量过程等。
  6.  

【基础知识】

  1. 随机过程的定义和分类
    1. 随机过程的定义以及常用随机过程
    2. 随机过程的分类
  2. 随机过程的数字特征
  3. 重要的随机过程简介

 

教学总时数:12

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第二章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第二章。

作业与练习:

  1. 设有随机过程,其中A与B是相互独立的随机变量,均服从标准正态分布。求的一维分布和二维分布。
  2. 已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通的函数(),求随机过程的均值函数和协方差函数。
  3. 。若已知二维随机变量的协方差矩阵为,求的协方差函数。

 

泊松过程*

【教学目的和要求】

  1. 理解泊松过程的背景与定义,以及泊松过程的简单性质。
  2.  
  3. 掌握泊松过程的均值函数、方差函数、协方差函数的求法与应用。
  4.  
  5. 掌握到达时间间隔的分布函数、概率密度及有关概率的求法。
  6.  
  7. 了解复合泊松过程背景,定义与示例,以及复合泊松过程的简单性质。
  8.  

【基础知识】

  1. 泊松过程的定义及其性质
    1. 计数过程的定义以及常用计数过程
    2. 泊松过程的定义和概率性质
  2. 与泊松过程相联系的若干分布
  3. 泊松过程的推广

 

教学总时数:0-6

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第二章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第三章。

作业与练习:

  1. 通过某十字路口的车流是一个泊松过程。设1min内没有车辆通过的概率为0.2,求2min内多于1辆车通过的概率。
  2. 是强度为的泊松过程,定义随机过程,常数,求的均值函数和相关函数。
  3. 设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流服从泊松过程,求2min内到达的顾客不超过3人的概率。

 

马尔科夫链

【教学目的和要求】

  1. 理解马尔可夫过程的背景与定义,马尔可夫过程的基本性质。
  2.  
  3. 熟悉常见马尔可夫过程。
  4.  
  5. 掌握马尔可夫链的背景、概念,常见马尔可链的定义与基本性质。
  6.  
  7. 齐次马尔可夫链,非齐次马尔可夫链的一步、二步转移概率,多步转移概率求法,转移概率矩阵与C-K方程介绍。
  8.  
  9. 了解马尔可夫链在金融学中的应用。
  10.  

【基础知识】

  1. 基本概念
    1. 马尔科夫链定义及其建模含义
    2. 状态转移图和状态转移矩阵
  2. 状态的分类及性质
  3. 极限定理及平稳分布
  4. 马尔可夫链的应用
  5. 连续时间马尔可夫链*
  6. 转移概率和柯尔莫哥洛夫微分方程*

 

教学总时数:18

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第三章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第五章。

作业与练习:

  1. 设有一质点在直线上作随机游动,其状态空间。质点经一步自点i移到点i+1的概率为p,自点i移到点i-1的概率为1-p,。状态0,m为吸收态(若质点到达时,就停留在零状态,此状态为吸收态)。求转移概率矩阵。
  2. A种啤酒的广告改变广告方式后经市场调查发现:买A种啤酒及另三种啤酒B,C,D(设市场只有四种啤酒)的顾客每两个月的平均转移率如下:

设目前购买A,B,C,D四种啤酒的顾客的分布为,求半年后A种啤酒的占有市场份额。

 

鞅过程及其在金融中的应用

【教学目的和要求】

  1. 理解随机游动和鞅的背景与定义。
  2.  
  3. 掌握停时理论及其实际应用。
  4.  
  5. 熟悉随机游动与鞅对金融现象的刻画。
  6.  

 

【基础知识】

  1. 基本概念
    1. 鞅定义及其建模含义
    2. 鞅和无套利之间的关系
  2. 鞅的停时理论及一个应用
  3. 一致可积性*
  4. 鞅收敛定理*
  5. 鞅过程在金融中的应用*

 

教学总时数:6

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第六章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第六章。

作业与练习:

  1. 什么是鞅过程?

2.  鞅过程和随机游走之间有何关系?

3.  如何把一个不是鞅过程的过程转化成一个鞅过程?

 

 

随机积分及其在金融学中的应用

【教学目的和要求】

  1. 掌握伊藤积分过程。

教学时数:1

  1. 掌握伊藤积分公式。
  2.  
  3. 理解布莱克-斯克尔斯模型,了解随机微分方程在期权定价中的应用。
  4.  

【基础知识】

  1. 基本概念
    1. 随机积分定义及其建模含义
    2. 关于布朗运动的积分
  2. 伊藤积分公式
  3. 随机积分在金融学中的应用

教学总时数:0-6

参考资料:教材《随机过程金融资产定价之应用》(伍海华等)第8-9章,参考书《应用随机过程(第三版)》(张波等)第8-9章。

作业与练习:

  1. 什么是鞅过程?

2.  鞅过程和随机游走之间有何关系?

3.  如何把一个不是鞅过程的过程转化成一个鞅过程?